Nouvelles fonctions usuellesFonction logarithme népérien ln : x-> ln xln est définie sur les réels strictement positifs. Pour a>0 et b>0:
ln (
ab)= ln a
+ ln b
lim ln x = 0
x-> + l'infini
ln (a/b)= ln a
- ln b
lim ln x = - l'infini
x->0
x>0
ln (a^
n)=
n ln a
lim lnx/x = 0
x-> + l'infini
ln (racine de a) = 1/2 ln a
lim lnx/x^n = 0, n € N
x -> + l'infini
Pour toute fonction
u strictement positive sur un intervalle
I, les fonctions
u et
ln u ont mêmes sens de variation sur
I.
Fonction exponentielle : x -> e^xexp est définie sur R et est toujours strictement positive : e^x>0 sur R.
exp (x)= y <=>
x= ln y avec
y<0.
ln (e^x)= x
e^
a+b= e^a
*e^b
lim e^x = + l'infini
x -> + l'infini
ln x= a < = > x= e^a , a € R
e^ln x= x, x>0
e^a-b= e^a/e^b
lim e^x = 0
x-> - l'infini
e-na= (e^a)^n
lim e^x/x = + l'infini
x -> + l'infini
x^n= a <=> x= a^1/n , a>0
a^x= e^x ln a , a>0
lim e^x/x^n = + l'infini , n e N
x-> + l'infini
A l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance
x et toute puissance de
x l'emporte sur ln x.
Pour toute fonction
u définie sur
l,
u et
e^u ont même sens de variation sur
l.
Voila pour ce soir